Determinants formula and btu exam most important qestion

सारणिक (Detrminants)

1. महत्वपूर्ण सूत्र:-

* सारणिक को | | चिन्ह द्वारा प्रदर्शित किया जाता है

1. a b c, d e f, g h i=Row ( पंक्तिया)

a b c

d e f इस तरह की लाइन को Column( कॉलम)

g h i

सारणिक के अवयव :- a1, b1 , c1, a2 ,b2 , c2, a3 , b3 ,c3 सारणिक के अवयव कहलाते हैं

*द्वितीय कोटि के सारणिक का विस्तार:-                  

*तृतीय कोटि के सारणिक का विस्तार:-

4. सहगुणनखण्ड (Co-factors)

किसी सारणिक के किसी अवयव का सहगुणनखण्ड उस अवयव का उचित चिन्ह के साथ उपसारणिक होता है। अतः किसी अवयव का सहगुणनखण्ड

= (-1)r +c x उपसारणिक

जहाँ = Row तथा c = Column

5. सारणिक के गुणधर्म(Properties of Determinant)

(i) यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तम्भ का प्रत्येक अवयव शून्य हो, तो सारणिक का मान शून्य होगा। अतः

 (ii) यदि किसी सारणिक की पंक्तियों का स्तम्भों में या स्तम्भों का पंक्तियों में परस्पर विनिमय कर दिया जाये तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है।

अतः

 (iii) यदि किसी सारणिक की दो समान्तर आसन्न पंक्तियया आसन्न स्तम्भों को परस्पर बदल दिया जाये ते । सारणिक का मान नहीं बदलता, किन्तु चिन्ह बदः । जाता है

अतः

x=Δx/Δ तथा y = Δy/Δ

 (iv) यदि किसी सारणिक में कोई दो पंक्तियाँ सर्वसम होंतो उपसारणिक का मान शून्य होता है।अतः

 क्रेमर नियम द्वाराa1x+ + b1y =C1 व a2x + b2y=c2 का हल निम्न प्रकार से ज्ञात किया जाता है।

  जहाँ

अब यदि

(i)Δ ≠ 0, तो दिए गए समीकरण निकाय का हल अद्वितीय (unique) होगा।

(ii) Δ =0 = Δx, = Δy , तो समीकरण निकाय के अनन्त हल होंगे।

(III) Δ=0 और कम-से-कम एक Δx , या Δy अशुन्य है, तो समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है और वह निकाय असंगत होगा।

कैमर नियम द्वारा

|a1X + b1y+c3z = d1; a2x +b2y+c2z = d2; a3x+ b3y+c3z = d3 का हल निम्न प्रकार से ज्ञात किया जाता है।

X= Δx/ Δ , Y= Δy/ Δ , Z= Δz/ Δ  

अब यदि

(i) Δ40, तो दिए गए समीकरण निकाय का हल अद्वितीय होगा।

(ii) =Δ =0 = Δx =Δy, = Δz ,तो समीकरण निकाय संगत या असंगत हो सकता है और यदि निकाय संगत है तो

इसके अनन्त मान प्राप्त होंगे|

(iii)Δ =0 और कम-से-कम एकΔx ,Δyया Δz अशून्य है, तो निकाय का मान ज्ञात नहीं किया जा सकता। अतः निकायअसंगत होगा।