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                       त्रिकोणमितीय :   ज्यमितिय

                           (Trigonometry  : Geometry)   

1. त्रिकोणमितीय अनुपात (  Trigonometric ratio) :-                         

⇩
Sin Cos Tan
 LA L
 K K A
Cosec
 Sec Cot
 

  1.     sinθ =   लम्ब /  कर्ण     =  L / K               ⇑            

    2.     cosθ =   आधार / कर्ण      = A/ K 

   3.   tanθ =   लम्ब  / आधार    = L / A

    4.   cosecθ =   कर्ण / लम्ब     = K / L

   5.    secθ =  कर्ण  /  आधार      = K / A

    6.   cotθ =   आधार /  लम्ब      = A / 

 2.  पारस्परिक संबंध (reciprocal relationship) :-

1. sinθ =   1/cosecθ         2. cosecθ = 1/sinθ

 3. cosθ  = 1/secθ          4.  secθ =  1/cosθ
 5. tanθ  =  1/cotθ          6.  cotθ  = 1/ tanθ
 7. tanθ  = sinθ / cosθ    8.  cotθ = cosθ/sinθ
 3.महत्वपूर्ण सूत्र (  Important Formula ):-
  (1)  sin2θ + cos2 θ = 1
    or sin2θ = 1-cos2 θ
   or cos2 θ = 1-sin2θ
    (2)   sec2 θ = 1+  tan2θ
    or tan2θ =  sec2 θ - 1
    or  sec2 θ - tan2θ = 1
  (3)   cosec2 θ = 1+ cot2 θ
   or  cot2 θ =  cosec2 θ - 1
          
     or cosec2 θ - cot2 θ= 1
                          
                                         सारणी (  Table
 θ 0 30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 120∘ 135∘ 150∘ 180∘
 sinθ 0 1/2 1/√2 √3/2 1 √3/2 1/√2 1/2 0
 cosθ 1 √3/2 1/√2 1/2 0 -1/2 -1/√2 -√3/2 -1
 tanθ 0 1/√3 1√3  ∞ -√3 -1 -1/√3 0
 cotθ ∞ √3 1 1/√3 0 -1/√3 -1 -√3 ∞
 secθ 1 2/√3 √2 2 ∞ -2 -√2 -2/√3 -1
 cosecθ ∞ 2 √2 2/√3 1 -2/√3 -√2 -2 ∞

 

0

30

45

60

90

120

135

150

180

 sin        

0

1/2

1/√2

√3/2

1

√3/2

1/√2

1/2

0

cos

1

√3/2

1/√2

1/2

0

-1/2

-1/√2

-√3/2

-1

tan

0

1/√3

1

√3

∞

-√3

-1

-1/√3

0

Cot

∞

√3

1

1/√3

0

-1/√3

-1

-√3

∞

Sec

1

2/√3

√2

2

∞

-2

-√2

-2/√3

-1

cosec

∞

2

√2

2/√3

1

-2/√3

-√2

-2

∞
 

                    ∞ ⇒ अपरिभाषित
                   1/0 = ∞, 0/1= 0
                                                            y1
 द्धितीय चतुर्थांश+ sinθ , +cosecθ  प्रथम चतुर्थांश All +
 तृतीय चतुर्थांश+ tanθ , +cotθ चतुर्थ चतुर्थांश +cosθ , +secθ 
                                              y`
 - θ (90∘-θ) (90∘+θ)( 180∘-θ)( 180∘+θ)
 sinθ -sinθ cosθ cosθ sinθ -sinθ
 cosθ cosθ sinθ -sinθ -cosθ -cosθ
 tanθ -tanθ cotθ -cotθ -tanθ tanθ
 cotθ -cotθ tanθ -tanθ -cotθ cotθ
 secθ secθ cosecθ -cosecθ -secθ -secθ
 cosecθ -cosecθ secθ secθ cosecθ -cosecθ
 
  (270∘-θ)(270∘+θ)( 360∘-θ) (360∘+θ)
 sinθ -cosθ -cosθ -sinθ sinθ
 cosθ -sinθ sinθ cosθ cosθ
 tanθ cotθ -cotθ- tanθ tanθ
 cotθ tanθ -tanθ- cotθ cotθ
 secθ- cosecθ cosecθ secθ secθ
 tanθ -cosθ sec -cosec θ cosec θ
                  दो कोणो के योग के सूत्र 
  1.  sin ( A+ B ) =  sin A cos B + cos A sin B
   2.  cos ( A+ B) =  cos A cos B - sin A sin B
   3.  tan (A + B ) = tan A + tan B / 1- tan A tan B
   4.  cot ( A + B ) = cot A cot B - 1 / cot B + cot A
                दो कोणो के अन्तर का सूत्र 
 5. sin ( A- B) = sin A cos B - cos A sin B 
   6. cos ( A- B) = cos A cos B + sin A sin B
   7. tan ( A- B) = tan A-tan B / 1+ tan A tan B
   8. cot ( A- B) = cot A cot B+1 / cot B- cot A
             तीन महत्वपूर्ण सूत्र
       9. sin ( A + B) sin( A - B) = sin2 A  - sin2 B
   10. cos( A+B) cos(A-B) = cos2 A - sin2 B
   11. tan( A+B+C) = tanA+tanB+tanC-tanA tanB tanC /
       1- tanA tanB tanC- tanB tanC - tanC tanA
          C , D महत्वपूर्ण सूत्र 
  12. sinC + sin D  =  2sin C+D / 2 cosC-D / 2 
  13. sinC - sin D  =  2cos C+D / 2 sinC - D / 2
  14. cosC + cosD =  2cos C+D /2  cos C-D / 2
  16. cosC - cosD  =  2sinC+D / 2   sin D-C / 2
  17. 2sinA cosB  = sin ( A+_B) + sin (A-B)
  18. 2cosA sinB  = sin (A+ B) - sin ( A-B)
  19. 2cosA cosB  = cos(A+B) + cos (A-B)
  20. 2sinA sinB   = cos (A-B ) - cos ( A+B

 21.  sin2A = 2sinA cosA = 2tanA / 1+tan2 A

22.   cos2A =    cos2  A  - sin2 A  = 1- 2sin2 A  =  2cos2  A  - 1 =
              = 1- tan2 A        /1 + tan2 A 
  23. tan2A = 2tanA / 1-  tan2 A 
24.  cot2A = cot2 A - 1 / 2cotA
25.     sin A  = 2sinA/2 cosA/2  = 2tanA/2/1+tan2 A/2
26.    cos A  = cos2 A/2- sinA/2 = 1-2sin2 A /2  = 2 cos2 A/2- 1 =
   1-tan2 A/2/ 1- tan2 A/2
27.  tanA = 2tanA/2 /1- tan2 A/2
28.  cot A = cot2A/2-1/ 2cotA/2
29.  sin 3A = 3sinA - 4sin3A
30.   cos3A  = 4cos3A - 3cosA
31.   tan3A   = 3tan A - tan3A /1- 3tan2A
32.   sin18∘ = ⇃5 - 1/4
33.   cos36∘ = ⇃5 +1/4
34.   sin36∘   =  √10-2√5/4
35.    cos18∘ =  √10+2√5/4
36.  किसी भी त्रिभुज के अन्तः कोणो का योग  =
          √A +√B + √C = 180∘
37.    cos2A + cos2B + cos2C        =     -1-4cosA  cosB  cosC
38  sin2A + sin2B +sin2C = 4sinA sinB sinC
39. sinA + sinB +sinC  =  4 cosA/2 cosB/2 cosC/2
40. cosA +cosB + cosC = 1+4sinA/2 sinB/2 sinC/2
41. tanA + tanB +tanC = tanA tanB tanC

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स्थान: India

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